「持ち家」という特殊な日本語を英語化しようとすると頭が痛くなるのでやめておこう。
「持ち家」じゃないということは、そう「賃借」しているわけだ。
だから「アパートを借りている」と言い換えてやればいいだけである。
<例文1>
No. I rent an apartment.
訳)いや、私はアパートを借りています(持ち家じゃありません)。
現在進行形を使ってもいいでしょう。
<例文2>
No, no. I am renting an apartment.
訳)いやいや、私はアパートを借りています。