live は状態動詞なので、原則的に現在進行形をとることが出来ない。
ただし、「今はアメリカに駐在している」というように、一時的に住んでいる場合もあり得ますよね。
そのような場合は、例外的に現在進行形―living を使ってよいことになっています。
動作動詞と状態動詞
英語の動詞には、「動作動詞」と「状態動詞」があります。
これらは、原則的に「進行形の形をとることができるか、できないか」という観点から分類された用語です。
動作動詞とは、文字通り具体的な動作を意味していて、その動作は通常、程なくして終わります。例えば wash は動作動詞の1つです。
＜例文1＞
I wash my hands before I leave the office.
訳）職場を去る前に、手を洗うのが私の日課です。
「手を洗う」という動作は、大抵ほんの数十秒か、かかっても数分の動作です。
一方、live は状態動詞であり、なぜなら「住んでいる」は、通常は半年とか一年以上は、継続した状態を意味しているからです。
「その町に3時間だけ住んでいました」とはならないわけです。
＜例文2＞
We live in Alaska.
訳）私たちはアラスカに住んでいます。
live のような状態動詞は、現在形の状態で既に「継続した状態」を意味していますから、これを、現在進行形にするのは、いささか珍妙であるということになります。
live が現在進行形をとるとき
ただ、冒頭でも申し上げたとおり「一時的にある土地に住んでいる」と言うときは、living を使ってよいことになっています。
例えば、日本に短期留学で来たアメリカ人なら以下のように言う事ができるでしょう。
＜例文3＞
I am living in Japan.
訳）私は（今のところ）日本に住んでいます。
このように living を使うと、「昔からずっと日本に住んでいたわけじゃないし、これからも生涯ずっと日本で生きていく可能性は低そうだけど、とりあえず今のところは日本に住んでいます」という含みが生まれます。
理論的には確かにこうなるのですが、経験的にはネイティブもそこまで厳密に使い分けている感じもしないので、実際のところはどっちも大差ないのではと個人的には感じています。