“obsessed with” と “addicted to” はどちらも『(一つの事)に入れ込む』というような意味です。
両者の違いを一言で言うと “obsessed with” はポジティブな事にも使うことが出来ますが、“addicted to” の語感はネガティブな印象が大半を占めます。
“obsessed with ～” ～のことで頭がいっぱいである
＜例文1＞
She is obsessed with chocolate.
彼女はチョコレートのことで頭がいっぱいだ。
上記の例文1は例えば以下のように言い換えることが出来ます。
＜例文2＞
She likes/loves chocolate.
彼女はチョコレートが大好きだ。
つまり “obsessed with” は『彼女はチョコレートに憑りつかれており毎日チョコレート漬けだ』というようなネガティブな意味でいつも使われるわけではないということです。
“obsession”＝『強迫観念』の原因は「恐怖」であるとされていますので勿論ネガティブな意味で使われることもありますが、誇張表現の一種として “love” や “like” の意味で使われることがあるということです。
“addicted to ～” 『～に病みつきなっている』
＜例文3＞
She is so addicted to shopping. She has spent $200,000 on her clothes.
彼女は完全に買い物依存症だ。これまで洋服に200,000ドルも使い込んでいる。
“addicted to” はほとんど病気の一種で cannot control であることを意味します。
ただし、歌詞などでありがちな “I am addicted to you” は誇張表現の中の誇張表現ということで今回の説明の例外になります。
おそらく大半は『私はあなたに夢中』という感じで、ポジティブな内容の歌になっていることが多いでしょう。